ゲームの内容とは？

　ゲームの内容を簡単に説明します。
　異なる１１種類のフルーツがあり、種類ごとで少しずつ大きさが違います。そのフルーツがランダムで１つずつ出てくるので、それを箱の中に落としていきます。その箱の中で、同じ大きさ（種類）のフルーツがくっつくと「進化」して、一回り大きな別のフルーツになります。同じ大きさ（種類）のフルーツをくっつけてどんどん進化させ、大きいフルーツを作っていきます。目標は、１１種類の中で最も大きいフルーツを作ることです。ただし、ランダムで出てくるフルーツは１１種類のうち小さい方から５つの種類のフルーツだけです。

このゲームを数を使って表すと？

　このゲームを、数を使って表すことを考えてみます。（ただし、ゲームの中の「得点（スコア）」とは別の視点です。）

ゲームでは１１種類のフルーツがあり少しずつ大きさが違うため、１１種類の異なる数でフルーツを表すことにしましょう。

１１種類の数を使うので、そのまま１から１１の数を使う、ということにすると少し複雑になります。同じ数がくっついたときに「進化」することを表さなければなりません。

例えば、（１）と（１）がくっつくと、（２）になるとします。 次に（２）と（２）がくっついたときに（３）になるというルールも、ありかもしれません。 ただ、（２）と（２）がくっついて（３）になるよりは、（２）と（２）がくっつくと（４）となる方がわかりやすいです。

そこで、同じフルーツがくっついて「進化」することを、同じ数がくっついたときに足し算をすることで表すことにします。たとえば（２）と（２）がくっつくと（４）になるということです。

では、順番に１つずつ出てくる数がどのように進化（足し算）していくかを考えます。 左から順番に１つずつ出てくる数が、すでに出てきていた数にくっつきます。同じ数なら進化（足し算）し、違う数ならそのまま隣にかくことにします。下の３つの例を見てください。

例１： （１）＋（１）→（２）
例２：（２）＋（１）（４）→（２）（１）（４）　
例３：（２）＋（２）（４）→（８）

＋の左側の赤字の数が新しく出てきた数で、→の右はくっついたあとの状態です。
例１では、すでにあった（１）とくっついて（２）に進化しました。
例２では、進化できずにそのまま（２）が（１）の横にくっつきました。
例３では、（２）と（２）でまず（４）に進化し、そのまま（４）と（４）で（８）に進化しました。

このようなルールにすると、同じ数同士を足すので、出てくる１１種類の数は
（１）（２）（４）（８）（１６）（３２）（６４）（１２８）（２５６）（５１２）（１０２４） となります。

ゲームのルールと同じにすると、この１１種類の数のうち小さい方から５つの数だけがランダムで１つずつ出てきます。すなわち（１）、（２）、（４）、（８）、（１６）の５つだけが新しく出てくる数です。この数をくっつけて、最終的に（１０２４）を作ることを目指します。

最も早くできるケースは？

　さて、（１０２４）を作るのに最も早くできるケースはどのような場合でしょうか。 それは、最初に（１６）が出て、その後も（１６）が出続ける場合です。順番に書いてみます。

１個目（１６）　（※１個目の数なので、そのまま）
２個目（１６）＋（１６）→（３２）
３個目（１６）＋（３２）→（１６）（３２）
４個目（１６）＋（１６）（３２）→（６４）
５個目（１６）＋（６４）→（１６）（６４）

　まだまだ先は長そうです。何個目の（１６）で（１０２４）になるか分かりますか？

　答えは簡単で、１０２４÷１６＝６４から６４個目の（１６）で（１０２４）となります。

（1）ばかり出続けると？

　つぎに（１）ばかり出続けるときを考えると、１０２４個の（１）で（１０２４）を作ります。（１０２４）になる直前の状態は、下のようになります。

（１）＋(１)(２)(４)(８)(１６)(３２)(６４)(１２８)(２５６)(５１２)→(１０２４)

これを式で表してみると次のようになります。

１＋（１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６＋５１２）＝１０２４

　上の式の―の部分は、倍々にしていく数を足している状態で、これは「等比数列（とうひすうれつ）の和」というものになり、高校１，２年生で習います。
　この和を求める公式もあり、一つずつ足さなくても和を求めることができます。

いろいろな視点で物事を見てみよう！

　ただ、実際のゲームでは大きさ（種類）の違うフルーツが１つずつランダムの順番で出てくるので、思ったように進化をさせられないこともあります。落とす場所を調整して箱の中にすでにあるフルーツを目がけて落とし、進化させることもできます。

　イメージは下の図のようになり、なかなか（１０２４） までの「進化」をさせることは難しいです。

　普段遊んでいるゲームでも、算数の考え方はかくれています。いろいろな視点で物事を見てみる習慣があるといいですね。

進学教室浜学園