【中学受験】有名中学現役教諭の”数学”特別授業～複雑な和を工夫して求めてみよう～

有名中の授業は、好奇心をくすぐる仕掛けが盛りだくさん。そして、学ぶことの本質を突いた授業は、探求心あふれる生徒を育てます。さあ、あなたも知的な冒険に出かけましょう！

複雑な和を工夫して求めてみよう

執筆：北嶺中・高等学校　数学科教諭　大畑　寿仁

　皆さん、こんにちは。この春入学された中学1年生は、ドキドキワクワクしていることと思います。しかし、中学受験はゴールではありません。これからも生涯勉強していきましょう。

　さて今回は、見た目が複雑な和を工夫して求める方法を学んでいきましょう。
これを読んでいる皆さんであれば、ドイツの数学者ガウスが 7 歳のころ、先生から出された「 1 から 100 までの数字をすべて足したらいくつか」という問題に即答した、という逸話はご存じでしょう。彼は以下のように工夫して求めました。

101 が全部で 100 個表れますが、実際求めたいものはこれの半分ですので101×100÷２＝5050 となります。では、次の和はどのように求めたらいいでしょうか。

ちなみに、それぞれの数字の右上に書かれてある数字は指数といい、例えばといった同じ数字を2回かける計算を簡単に表す記号です。
足していく数字が少ないとまだ力技で求められますが、これが 100 までなどと言われると厳しいですよね。ただ、これもうまく求める方法があります。
下の図のように、1段目に1を1個、2段目に2を2個、3段目に3を3個、……と数字をピラミッド状に並べていきます。

1つのピラミッドにある数字をすべて足すと

になっています。このピラミッドを120度ずつ回転したものをあと2つ作り、3つのピラミッドの同じ場所にある数字をすべて足します。
そうすると、すべて 201 のピラミッドができました。 201 は何個あるかというと、あるため、この計算を利用すれば、どんなに数が大きくなっても計算できます。
こういった複雑な和を求める問題は、高校で数学 B の数列という単元で学びます。意欲のある人は、数字をそれぞれ3回かけた和　を工夫して求めてみましょう。